аттракторы 2

["Pooh" <vvs@barrt.ru>]

Привет всем!

Продолжаю про фазовую плоскость.
Представим теперь себе, что мы не только можем рисовать
фазовые траектории реальных систем, но и непосредственно
находится на фазовой плоскости, но при этом наше
движение ограничено только фазовыми траекториями,
причем в том направлении, в каком движется по ним точка
при изменении состояния системы. Таким образом мы можем
кататься по этим эллипсам, спиралям и вообще любым
кривым, какие только возможны для данного фазового портрета.
Как мы сможем ездить, если попадем на фазовый портрет
автоколебательной системы? Предположим, что система
возбуждается мягко, то есть состояние покоя неустойчиво,
и мы из центра тут же начнем ехать по раскручивающейся спирали.
Однако, раз система автоколебательная (часы, например), то
на фазовой плоскости обязательно должна быть траектория,
соответсвующая обычному ходу часов. Эта траектория
обязательно замкнутая, так как для автоколебаний энергия
потерянная компенсируется энергией из источника питания.
И оказывается, что мы, по какой бы спирали не выехали из центра,
неизбежно попадем на это кольцо (которое не обязательно эллипс).
Если же мы начнем движение из бесконечно удаленной точки
фазовой плоскости, то тоже неизбежно попадем на это кольцо.
Такая фазовая траектория называется предельным циклом.
Предельным - потому что в пределе все траектории сходятся к ней.
Получается своеобразная колея на скользкой дороге, съехав в которую,
выехать уже не удается. Любые отклонения рано или поздно приведут обратно.
Таким образом предельный цикл как бы притягивает к себе все
фазовые траектории из некоторой окрестности вблизи себя.
Такая область фазовой плоскости получила название "аттрактор"
(англ. to attract - привлекать, притягивать).
Устойчивое состояние равновесия, к которому стягиваются спирали -
тоже аттрактор. Но поскольку фазовые траектории имеют направление,
то они могут стремиться попасть в какую-то область, а могут стремиться
покинуть ее. Когда спирали раскручиваются из центра - это тоже
аттрактор, но отталкивающий, а не притягивающий.
Аттракторы проявляются либо в виде усточивых или неустойчивых точек
равновесия,
либо в виде предельных циклов, которые тоже могут быть устойчивыми
или неустойчивыми. Неустойчивый предельный цикл появляется
в случае жесткого режима возбуждения автоколебаний.
Тогда центр охватывают два кольца. Но внешнее - колея,
а внутреннее - бугорок. Поэтому, не переехав бугорок,
мы скручиваемся или съезжаем почти по прямой обратно
к равновесию. Переехав бугорок (физически - толкнув маятник,
сообщив ему нужное количество энергии), мы скатимся в колею.

Итак, на фазовой плоскости могут существовать два типа
аттракторов - притягивающие и отталкивающие.

Всем привет и спасибо!

Пух.