необратимость, часть2

[Elena <elena@itam.nsc.ru>]

Ниже даны определения некоторым наиболее важным терминам.
Метод молекулярной динамики заключается в следующем. Исследуемая система
рассматривается как совокупность атомов (молекул), при этом имеется информация о
каждом атоме: известны координата и импульс атома в начальный момент времени;
известны силы (потенциальные энергии взаимодействия) атомов друг с другом.
Зная все это, можно составить дифференциальные уравнения движения для всех
частиц (получить развитие системы). Решив их, получим зависимость координаты,
импульса каждого атома, далее, на основе некоторых законов, можно определить
макро-состояние системы атомов (например, кристалла) в любой момент времени.
Макро-состояние описывается такими величинами, как полная энергия системы,
потенциальная, кинетическая, скорость всей системы как целого (это скорость
центра масс) и т.п.
Стохастичность – состояние, близкое к хаотичности, при этом отсутствует
корреляция (взаимосвязь) процессов во времени.


Метод МД, опираясь на классическую механику, описывает такие неравновесные
процессы, как теплопроводность, диффузия, распространение ударных волн и т.д. И
вот тут, длительная дискуссия об обратимости законов механики и
термодинамической необратимости процессов в природе трансформируется из чисто
теоретической плоскости механического обоснования статфизики в практический
вопрос. А можно ли вообще использовать метод молекулярной динамики для описания
неравновесных явлений? Опираясь на имеющиеся противоречия, Мартынов Г.А.
(Неравновесная статистическая механика, уравнения переноса и второе начало
термодинамики // УФН. -1996. -Т.166. -№.10. -С.1105-1133) дает отрицательный
ответ. Кратко суммируя выводы этой работы, можно сказать, что причиной
необратимости кинетических процессов являются: а) невозможность абсолютной
точности измерения координат и импульсов при задании начальных данных; б)
стохастичность динамических систем (при рассмотрении которой опираются на первый
пункт, так как всегда рассматривается некоторая область фазового пространства
d*=dp? dq, где p – импульс, q - координата).
Однако, в рамках МMД не используется статистическое описание - главным объектом
исследования являются траектории частиц. Кроме того, при задании начальных
данных предполагается абсолютная точность измерения. Все это, на первый взгляд,
оставляет открытым вопрос о правомерности применения МMД к исследованию
неравновесных процессов. Чтобы на него ответить, наиболее удобно работать с
уравнениями Гамильтона.
Пусть система эволюционирует промежуток времени t0, а затем мы обращаем время,
т.е. в уравнениях движения заменяем t на –t  (движемся на такой же промежуток
времени «назад»). При этом, в соответствии с некоторыми математическими законами
(свойства оператора эволюции), qi = qi(0), pi = pi(0), т.е. система возвращается
в исходное состояние.
Однако, уравнения движения Гамильтона (Ньютона) инвариантны (остаются без
изменений) не относительно операции обращения времени, а относительно обращения
времени-импульсов. Выражаясь проще – если в уравнениях заменить знак на минус
только у времени t, то их вид измениться, а если изменить знак на минус,
обратить, и у времени, и у импульса, то вид уравнений не измениться. (Вспомните
из школы – четные, нечетные функции.)
При замене в уравнениях движения Гамильтона t на –t, p на –p, получается
следующее: qi = qi(2to), pi = pi(-2to) координаты в момент t=2t0  остались
инвариантными, а у импульсов остались инвариантными модули, сами же они
приобрели противоположный знак.
Следствием инвариантности эволюции координат относительно обращения времени,
импульса является то, что и динамика концентрации частиц n(q, t), и динамика
полной потенциальной энергии U(q(t)) инвариантны относительно обращения времени,
импульса. Т.к. кинетическая энергия системы зависит от квадратов модулей
импульсов, то и кинетическая энергия, и локальная температура также инвариантны
относительно замены t на –t, p на -p. Следовательно, перенос энергии и массы в
макросистеме инвариантны относительно обращения (t,p).
Математически можно показать (показано), что уравнения гидродинамики (они
описывают зависимость от времени переноса энергии, вещества, и изменение сил в
системе) инвариантны относительно операции обращения  времени-импульса, как и
уравнения классической механики. Однако, и те, и другие уравнения не инвариантны
относительно обращения только времени.
Далее – о результатах наших численных экспериментов.
Задан кристалл меди с начальным распределением температуры в виде ступеньки
(одна половина кристалла при температуре 190К, вторая – при 9К). Расчет всех
характеристик проводился до момента выравнивания температур в обеих половинах
кристалла. Затем обращалось только время (t заменяем на -t), и делалось столько
же шагов «назад». Температуры при этом эволюционировали по своим траекториям
также «назад», и система вернулась в первоначальное состояние c температурным
профилем в виде «ступеньки» (более образно: разбивается ваза, все это заснято на
кинопленку, а затем просматриваем этот «фильм» с конца, получается ваза снова
цела).
Второй численный эксперимент проводился следующим образом. Та же система
эволюционировала часть времени обыкновенным образом, а затем делалось обращение
времени-импульсов и осуществлялось дополнительно некоторое количество шагов. При
этом процесс теплопроводности идет в обычном порядке (т.е. происходит
выравнивание температур в обеих половинах кристалла). Т.е. процесс
теплопроводности как и было показано выше, оказался необратимым относительно
инверсии времени. Это подтверждает высказывание о необратимости реальных
процессов нашего мира.
Резюме: противоречие между законами механики и реальными процессами, о котором
говорил С. Хайтун, снято, его просто нет. И законы механики, и реальные процессы
НЕ ОБРАТИМЫ относительно инверсии времени, и инвариантны только при инверсии как
времени, так и импульса.
(О! Мысль в голову заскочила – если мы направим время в обратном направлении, и
при этом сумеем «заставить» двигаться атомы, молекулы системы в направлении,
противоположном тому, куда они только что двигались, можно процессы запускать
вспять, т.е. старик снова станет мальчиком! :)))  А вот если сесть в машину
времени, где мы движемся по времени назад, то можно вернуться в прошлое и
встретиться с собой – ребенком. Это моя гипотеза.)
Таким образом, как уравнения механики, так и уравнения кинетики инвариантны
относительно обращения времени-импульсов, а эволюция системы и на микроуровне
(механика), и на макроуровне (кинетика) являются необратимыми. Следовательно,
между механическим и кинетическим способами описания системы нет противоречия,
т.е. метод молекулярной динамики можно применять для исследования неравновесных
процессов.



Пока все.
До связи! :)))
Елена.