[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

аттракторы 1



Привет всем!

Помните, Клейн уподобил "Алмазную сутру" странному аттрактору?
Раз мы добрались до самоорганизации, давайте добираться и до хаоса.
Чтобы разобраться, что такое странный аттрактор, придется
ввести некоторые абстрактные понятия - ничего не поделаешь.
Представим себе, что мы, глядя на маятник или на грузик с пружинкой,
измеряем одновременно его координату и скорость.
Представим также, что мы такие умельцы, что можем
сразу записывать результаты измерений на бумагу.
Только записывать мы будем определенным образом:
нарисуем на бумаге две перпендикулярные оси, на которых
будем откладывать измеренные нами значения координаты и скорости.
Каждое измерение приведет к появлению на бумаге точки, горизонтальная
координата на бумаге которой будет равна настоящей координате
грузика или углу отклонения маятника, а вертикальная будет соответствовать
скорости. Чем больше координата (угол), тем правее на бумаге появится
точка, чем больше скорость - тем выше она появится. Такая точка
полностью характеризует состояние системы, поскольку по ней
мы можем определить физические величины - координату и скорость,
угол отклонения и угловую скорость и т.д. в зависимости от природы
системы. Так как в процессе движения меняются и координата, и скорость,
будет менять свое положение на плоскости и точка, выставляемая нами.
И оказывается, что линии, которые описывает такая точка с течением
времени - всегда совершенно определенные. Если система не теряет
энергии (консервативная) - то это будут всегда замкнутые линии.
Процесс строго периодический. Через равные промежутки времени
маятник отклоняется на один и тот же угол и при этом имеет
одну и ту же угловую скорость. А если углы отклонения маленькие,
и маятник можно считать линейной системой, то это будут
не просто замкнутые кривые, а всегда - эллипсы.
Кривые такие, каждая точка которых отражает состояние
системы в определенный момент времени, называются фазовыми
траекториями, а лист бумаги, на котором мы их рисуем, - фазовой плоскостью.
Таких кривых - бесконечное множество. Каждая из них соответствует
различным начальным условиям. То есть, отклоним маятник на один градус
от вертикали и отпустим - получим один эллипс, отклоним на два градуса -
получим другой, бОльшего размера. Поскольку начальных углов, как и начальных
скоростей
можно задать бесконечно много, то и фазовых траекторий будет бесконечно
много.
Вся совокупность все возможных фазовых траекторий называется фазовым
портретом системы
и отражает ВСЕ возможные состояния системы.
На самом деле, конечно рассеяние энергии есть, и траектории в этом случае
не эллипсы, а спирали, скручивающиеся к центру - к точке, в которой
равны нулю и координата, и скорость, и которая соответствует состоянию
равновесия.
В небольшой окрестности такой точки систему всегда приближенно
можно считать линейной, так что независимо от природы процесса,
фазовый портрет в окрестности состояния равновесия может
принимать один из следующих образов:
1) Если система консервативная, состояние равновесия устойчивое -
фазовые траектории всегда эллипсы.
2) Если система диссипативная, и энергия рассеивается,
то фазовые траектории - спирали, скручивающиеся к центру,
если рассеивается небольшое количество энергии.
Если рассеивается большое количество энергии,
то спирали вырождаются - они совершают не более одного
полного оборота вокруг точки - состояния равновесия
3) Если система диссипативная, но энергия не рассеивается,
а прибывает (автоколебания), то фазовые траектории -
спирали, но раскручивающиеся из центра.

Важно! - описанные фазовые портреты таковы лишь
вблизи состояния равновесия - там, где систему можно считать
линейной. При больших отклонениях от равновесия фазовые траектории
могут иметь различную форму.

Все выше сказанное пока не имеет видимого отношения
к самоорганизации и хаосу, но речь о них впереди.
Пока остановлюсь, чтоб информация переварилась.
Понятие аттрактора введем в следующем письме.

Всем спасибо и привет!

Пух.
PS Я решил, что можно обойтись без поясняющих картинок,
но если это не так - пишите, подготовлю и пришлю.





Home | Date Index | Thread Index | Author Index

Klein-by Mailing List Archive
March 2001