[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Лекция 2



Привет всем!

Продолжаем...

Свободные колебания в линейных системах с одной степенью свободы.

Прежде всего - речь пойдет именно о СВОБОДНЫХ колебаниях, то есть о
колебания в отсутствии какого-либо внешнего воздействия (о нем речь
впереди).
Такие процессы происходят за счет того запаса энергии в системе,
какой имелся к начальному моменту времени (к началу наблюдения за системой).
Вопросы о том КАК был создан этот запас мы не рассматриваем. Разумеется,
если внутренних источников энергии нет, то он мог
быть создан только за счет внешнего воздействия (отклонили маятник и
отпустили, толкнули груз на пружине).
Но это воздействие имело место ДО того, как мы начали наблюдать за системой.
Поведение системы ПОСЛЕ этого - однократного, если можно так сказать, -
воздействия полностью определяется внутренними особенностями
системы. Такие колебания и называют свободными.
Еще одно замечание. На самом деле реально существующие системы всегда
нелинейны. Они всегда меняют свои параметры в зависимости от собственного
состояния. В одних это проявляется сильнее, в других слабее, но имеет место
во всех материальных (я думаю, и в нематериальных - тоже) системах.
Поэтому возникает вопрос: насколько важно знать поведение систем линейных,
если их, вообще говоря, просто не бывает? Оказывается, что на небольших
интервалах времени любая нелинейная система ведет себя как линейная.
Пример из первой лекции - человек, идет в воде и пытается увеличивать
скорость.
Чем больше он торопится, тем сильнее вода сопротивляется. Но за небольшой
интервал времени увеличением сопротивления можно пренебречь и считать
систему линейной (т.е. пользоваться для каких-нибудь расчетов
моделью линейной системы). Разумеется, величина такого интервала времени, на
котором систему можно считать линейной зависит от самой системы.
Для человека в воде это секунда, а может, десятые доли секунды.
А для тактового генератора внутри компьютера (это про который говорят, мол,
200 мегагерц, 500 мегагерц) такой интервал, наверное, не больше,
чем миллиардная доля секунды. Таким образом в начале, пока не прошло
слишком много времени, любая система ведет себя как линейная,
так что необходимо понимать, что происходит в самых простых системах.
Которых не бывает :).
Для начала будем считать, что в системе не действуют никакие силы,
препятствующие движению. В механических системах такое предположение
означает, что мы пренебрегаем всеми силами трения. В электрических -
нет никакого сопротивления (закон Ома помните?). В биологических -
еще чего-нибудь нет. Не знаю чего, но препятствующего жизни.
(Биологи есть в Школе?)
В этом случае энергия колебаний не рассеивается, не уменьшается.
Следовательно, колебания могут продолжаться вечно. Амплитуда - не меняется,
она определена только начальными условиями, то есть тем запасом энергии,
который сообщен системе до начала наблюдения за ней.
В такой системе выполняется тот самый знаменитый закон сохранения
энергии, которому учили в школе - сумма кинетической и потенциальной энергии
есть величина постоянная. Такие системы называют КОНСЕРВАТИВНЫМИ.
Конечно, консервативных систем не бывает. В жизни энергия обязательно
расходуется,
поэтому разговор о системах с неисчезающей энергией - это разговор об очень
грубой модели реальных систем.
Однако мир устроен так, что именно колебательный процесс в консервативной
системе является элементарной составляющей процессов в более сложных
системах.
Оказывается, что колебания в линейной консервативной системе с одной
степенью
свободы (всем терминам я уже давал определения), происходят по закону
синуса. Обращаюсь к тем, кто после школы (не нашей, а обычной:))
не учил больше математику: пожалуйста, освежите в памяти, что это за функция
такая - синус.
Просто для того, чтоб наглядно себе представить, как он выглядит.
При необходимости - шлите мне вопросы - вышлю график с необходимыми
пояснениями.
Кроме амплитуды, у колебательного процесса в такой простой системе есть
только еще одна
характеристика - частота. И если амплитуда определяется начальными
условиями, то частота -
определяется ТОЛЬКО параметрами системы. То есть длиной маятника, массой
груза,
электрическими параметрами - емкостью и индуктивностью, для каждой системы
они свои.
На всякий случай напомню, что такое частота: если мы измерим интервал
времени, за который
в системе происходит одно колебание, (то есть время, за которое система
возвращается в
первоначальное состояние) то получим величину, называемую периодом
колебаний.
Если единицу разделить на период, то и получится частота, измеряемая в
герцах (или мегагерцах).
В консервативных системах, независимо от их природы возможны
только незатухающие колебания с постоянной амплитудой и частотой.
Подумайте теперь, так ли уж сильно отличаются колебания с постоянной
амплитудой
и частотой от состояния покоя? Ведь в системе НИЧЕГО НЕ ПРОИСХОДИТ с точки
зрения
развития процесса.

Замечание.
В дальнейшем - когда мы будем говорить о частоте или амплитуде колебаний -
мы всегда
будем иметь ввиду, что речь идет о СИНУСОИДАЛЬНЫХ колебаниях.
Именно такие колебания есть элементарные составляющие любого колебательного
процесса.

Усложним теперь модель системы - учтем факт рассеяния энергии.
Такие системы (с рассеянием энергии) называются ДИССИПАТИВНЫМИ.
Итак, из-за наличия сил трения (в мех. системах) энергия, первоначально
сообщенная
системе, уменьшается. Это приводит к постоянному уменьшению амплитуды
колебаний,
что может увидеть каждый, наблюдая за затухающими колебаниями любого
маятника,
сделанного из любого подручного материала. Таким образом появляется
необходимость
введения еще одного параметра для характеристики процесса - параметра,
который
показывал бы, как быстро теряется энергия. таких параметров придумано много,
потому что много можно придумать критериев, например - можно вводить время,
за которое амплитуда уменьшится в 2 раза (или в 22, как предлагал Bzicky -
привет!).
Можно вводить величину, показывающую, во сколько раз уменьшается амплитуда
за один период. Можно много чего еще придумать. Мы будем пользоваться
понятием коэффициента затухания, который обратно пропорционален времени, в
течение
которого амплитуда уменьшается примерно в 2,7 раза. Подробности здесь не
важны пока.
А зависит он опять-таки ТОЛЬКО от параметров системы.

К сожалению нам не обойтись без введения понятий, выходящих за рамки
школьного
курса математики и физики. Но я все-таки стараюсь максимально просто
объяснять
вещи, которые обычно пишутся всякими формулами. Задавайте ЛЮБЫЕ вопросы.
Отвечу на все ("Я за весь базар отвечу" (с) Пелевин).

Главное, что следует понять из вышесказанного: в линейных системах
(и консервативных и дисипативных)
амплитуда колебаний определяется только начальным запасом энергии.
Частота колебаний и скорость затухания (а, значит, и коэффициент затухания)
определяются ТОЛЬКО параметрами самой системы.
То есть колебания в линейных системах происходят всегда ОДИНАКОВО.
В консервативных - с неизменной амплитудой и частотой.
В диссипативных - с уменьшающейся амплитудой и неизменной частотой.
При этом в консервативных колебания происходят вечно,
а в диссипативных рано или поздно энергия рассеется вся, и система
придет в состояние покоя.

Ну вот, достаточно пока.
Задавайте вопросы и делайте замечания.
Материал понемногу усложняется, так что давайте разбираться сейчас
с тем, что непонятно.

Всем привет и спасибо.
Пух.







Home | Date Index | Thread Index | Author Index

Klein-by Mailing List Archive
January 2001